第7题：含弹簧系统的碰撞、能量与分离条件
题目原题
如图所示，在固定的光滑斜面底端有一与斜面垂直的固定挡板，一个劲度系数为 \(49.5\text{N/m}\) 的轻弹簧下端连接挡板，上端连接质量为 \(1\text{kg}\) 的物体B，质量为 \(0.98\text{kg}\) 的物体A与B一起静止在斜面上(A与B不黏连)，此时弹簧的弹性势能为 \(0.99\text{J}\)。质量为 \(0.02\text{kg}\) 的子弹以 \(200\text{m/s}\) 的速度沿着斜面向下射入物体A且未穿出(射入时间极短)。\(g=10\text{m/s}^{2}\)，斜面倾角为 \(30^{\circ}\)，下列判断正确的是( )
详细讲解
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- 初态分析：根据静止状态和弹性势能求出初始压缩量。
- 碰撞过程：利用动量守恒求共同速度，利用能量差求损失（判别 A、B）。
- 分离分析：分析 A、B 分离的临界条件（\(N=0\)），确定分离位置（判别 C）。
- 能量计算：利用功能关系计算分离时的动能（判别 D）。
知识卡片
正式解题步骤
初始状态参数验证
设初始压缩量为 \(x_1\)。碰前 A+B 总质量 \(M_{AB} = 0.98 + 1 = 1.98\text{kg}\)。
重力沿斜面分力 \(G_x = M_{AB}g\sin30^{\circ} = 1.98 \times 10 \times 0.5 = 9.9\text{N}\)。
由胡克定律 \(kx_1 = G_x \Rightarrow 49.5 x_1 = 9.9 \Rightarrow x_1 = 0.2\text{m}\)。
验证弹性势能：\(E_p = \frac{1}{2}kx_1^2 = 0.5 \times 49.5 \times 0.04 = 0.99\text{J}\)。与题意相符。初始位置对应弹簧压缩 \(0.2\text{m}\)。
子弹射入过程（判定选项 A、B）
碰撞时间极短，动量守恒。由于A在B上且沿斜面向下受冲击，A推B，两者瞬间具有相同的共同速度。
选项 A 判别：系统速度为 \(2\text{m/s}\)，而非 \(4\text{m/s}\)。A 错误。
选项 B 判别：机械能损失 \(\Delta E\)：
B 正确。
分离条件的分析（判定选项 C）
A和B分离的临界条件是层间弹力 \(N=0\)。此时对 A 进行受力分析，只有重力分力提供加速度。
分离时，对 A（含子弹）：\(a_A = g\sin30^{\circ}\)。
对 B（含弹簧）：\(m_B g\sin30^{\circ} - F_{弹} = m_B a_B\)。
分离瞬间 \(a_A = a_B\)，解得 \(F_{弹} = 0\)，即弹簧处于原长状态。
核心辨析：初始位置压缩 \(0.2\text{m}\)，分离位置为原长（\(0\text{m}\)）。物体回到初始位置时弹簧仍有压力，不会分离。只有继续向上运动到原长位置时，才会分离。
C 错误。
分离时的动能计算（判定选项 D）
对系统（A+B+子弹）从碰撞后瞬间到分离瞬间应用动能定理。
过程：起点（初始位置 \(x_1=0.2\text{m}\)），终点（分离位置原长 \(x_2=0\text{m}\)）。位移向上 \(0.2\text{m}\)，高度升高 \(h = 0.1\text{m}\)。
D 正确。
名师点拨与拓展
⚠️ 关于答案的争议
文档答案可能标注为 BC，但正确物理答案应为 BD。
物理规律铁证如山：分离发生在弹簧原长处（对于光滑斜面模型）。初始点有压缩量，不可能分离。因此，原卷参考答案 BC 极有可能是印刷错误，建议按 BD 理解。
方法总结：多体动力学三阶段
- 阶段一（碰撞）：极短时间，内力极大，忽略外力，动量守恒。
- 阶段二（共速运动）：A、B视为整体，能量守恒。
- 阶段三（分离）：抓住 N=0，即加速度仅由各自重力/弹簧力决定。
易错提醒
碰撞对象： 容易误以为子弹只和A撞。但在A压在B上的情境下，B会瞬间参与动量分配（A推B）。必须将A+B视为整体计算共速。
变式思考
- 如果斜面粗糙： 分离条件变复杂。因摩擦力 \(f = \mu mg \cos\theta\) 存在，分离不一定在原长。需列方程：\(mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta = ma\)。
- 如果 A 和 B 黏连： 它们将永远不分离，一起做简谐运动，过原长后弹簧会被拉伸。