15. 变力冲量与平抛-圆周组合模型
如图甲所示，\(t=0\) 时质量 \(m=0.1\text{kg}\) 的小球在水平向右的拉力 \(F\) 作用下由静止开始从水平面 AB 的左端向右运动，\(t=4\text{s}\) 时从 B 端水平飞出后，从 D 点无碰撞的进入位于同一竖直面内的光滑圆轨道，并恰好能到达圆轨道的最高点后水平飞出。
已知小球与水平面 AB 之间的动摩擦因数 \(\mu=0.2\)，B、D 两点之间的高度差 \(h=0.45\text{m}\)、水平距离 \(x=1.2\text{m}\)，小球所受拉力 \(F\) 与其作用时间 \(t\) 的关系如图乙所示，重力加速度 \(g\) 取 \(10\text{m/s}^{2}\)，忽略空气阻力。
- 小球到 B 点时的速度大小 \(v_{B}\)；
- \(t=0\) 时拉力 \(F\) 的大小 \(F_{0}\)；
- 圆轨道半径 \(R\)。
解题思路
先处理平抛运动（已知 \(h, x\)），求出平抛初速度 \(v_B\)，这是连接前后过程的桥梁。
利用 F-t 图像的“面积”求冲量，结合动量定理求 \(F_0\)。
由“无碰撞”定方向，由“恰好过最高点”定临界速度，最后能量守恒求 \(R\)。
知识储备卡片
- • F-t 图像物理意义：图线与坐标轴围成的面积表示冲量 \(I\)。
- • 平抛运动：竖直 \(h = \frac{1}{2}gt^2\), 水平 \(x = v_0 t\)。
- • 无碰撞进入轨道：速度方向沿圆轨道切线方向。
求解 B 点速度 \(v_B\) (平抛规律)
小球从 B 到 D 做平抛运动，水平匀速，竖直自由落体。
竖直方向：由 \(h = \frac{1}{2}gt_2^2\) 得：
水平方向：由 \(x = v_B t_2\) 得：
求解初始拉力 \(F_0\) (动量定理)
在 AB 段 (\(0 \sim 4\text{s}\))，利用动量定理 \(I_{\text{合}} = \Delta p\)。
-
拉力冲量(面积法)： 图乙是三角形，底 \(t=4\)，高 \(F=F_0\)。
\(I_F = \frac{1}{2} \times F_0 \times 4 = 2F_0\)
-
摩擦力冲量： \(f = \mu mg = 0.2 \times 1 = 0.2\text{N}\) (注意是恒力)。
\(I_f = -f \cdot t_1 = -0.2 \times 4 = -0.8\text{N}\cdot\text{s}\)
列式求解：
求解圆轨道半径 \(R\)
3.1 分析 D 点速度方向 (几何)
设 D 点速度偏角为 \(\theta\)。
提示：无碰撞进入意味着 \(\theta\) 也是半径与竖直方向的夹角。
3.2 分析最高点 E (临界)
3.3 全过程能量分析
从 D 到 E 上升的高度为 \(H = R + R\cos\theta = 1.8R\)。
对 B 到 E 列动能定理：
🎓 名师点拨与拓展
方法总结
本题是典型的“多过程切割”模型。看到变力（F-t图像），首选动量定理求冲量。平抛运动的关键是求出末速度的大小和方向，因为这个角度直接决定了后续圆周运动的几何位置。
易错提醒 ⚠️
- • 漏算摩擦力： 动量定理中合外力冲量包含拉力 \(I_F\) 和摩擦力 \(-\mu mgt\)，切勿遗漏后者。
- • 几何高度错误： D 点不在最低点，D到E的高度差是 \(R(1+\cos\theta)\)，不是 \(2R\)。
变式思考
如果题目改为“恰好过圆心等高点”，那么临界条件不再是 \(v^2=gR\)，而是由动能定理决定速度能否为0（管状轨道）或由其他几何约束决定。