电阻的测量——从欧姆表到双安培表法
(1) 他们首先用多用电表欧姆挡的“\(\times 10\)”挡粗略测定电子元件阻值，表盘中指针位置如图(a)所示，则阻值为 ______ \(\Omega\)。
(2) 为了精确测量电子元件的阻值，小组找到了如下实验器材：
- A. 电源E(9V, 内阻约2Ω)
- B. 电压表V(0~15V, 内阻约8kΩ) (已损坏)
- C. 电流表 \(A_1\)(0~15mA, 内阻为10Ω)
- D. 电流表 \(A_2\)(0~100mA, 内阻为2Ω)
- E. 滑动变阻器 \(R_1\)(最大阻值为50Ω)
- F. 滑动变阻器 \(R_2\)(最大阻值为4kΩ)
- G. 开关S，导线若干。
① 小组设计了如图(b)所示的实验原理图，其中电流表应选用 ______；滑动变阻器应选用 ______；（均填器材前序号）
② 兴趣小组在测量过程中发现电压表已损坏，他们找到了一个定值电阻 \(R\)，并重新设计了如图(d)所示的电路图，闭合开关S前，滑动变阻器的滑片P应处在 ______（填“M”或“N”）端。
当开关S闭合后，改变滑动变阻器滑片P的位置，记录电流表 \(A_1\) 的示数 \(I_1\)、电流表 \(A_2\) 的示数 \(I_2\)，作出了 \(I_2 - I_1\) 的图像，如图(e)所示，已知图线的斜率为 \(k (k>1)\)，则该电子元件的阻值 \(R_x =\) ______（用 \(R, r_1, k\) 字母表示）。
🎯 解题思路
- 读数：欧姆表读数 = 刻度值 × 倍率。
- 器材选择：估算最大电流 \(I \approx E/R_x\)，选择合适量程。
- 电路设计：电压表损坏时，利用“已知内阻电流表 + 定值电阻”构建等效电压表。
- 数据处理：利用并联电压相等 \(U_1 = U_2\) 列方程，整理成 \(y=kx+b\) 形式匹配图像。
💡 知识卡片
- 欧姆表：指针越靠右阻值越小，读数必须乘倍率。
- 分压式接法：当要求电压从0开始调节，或 \(R_{变} \ll R_x\) 时使用。首选小阻值变阻器。
- 并联规律：两支路电压相等，电流之比与电阻成反比。
📝 正式解题步骤
Step 1: 欧姆表读数
观察表盘指针数值为 10，倍率为 \(\times 10\)。
阻值 \(R = 10 \times 10 =\) \(100 \Omega\)。
Step 2: 器材选择
估算最大电流 \(I_{max} \approx 9V / 100\Omega = 90mA\)。\(A_1(15mA)\) 太小，故选 D (\(A_2\))。
题目要求精确测量（需分压接法），分压式应选阻值较小的变阻器以便于调节，故选 E (\(R_1\))。
Step 3: 电路操作
闭合开关前，分压电路输出电压应为0。通常M端接地/负极，故滑片P应置于 M 端。
Step 4: 创新电路推导 (难点)
1. 电流关系 (KCL): 待测支路电流 \(I_x = \) \(I_2 - I_1\)。
2. 电压关系 (并联): \(I_1(R + r_1) = I_x R_x\)。
3. 联立求解: 将 \(I_x\) 代入电压方程：
\(I_1(R + r_1) = (I_2 - I_1)R_x\)
整理得：\(I_2 = (\frac{R+r_1}{R_x} + 1)I_1\)
4. 结合图像: 斜率 \(k = \frac{R+r_1}{R_x} + 1\)。解得 \(R_x = \frac{R+r_1}{k-1}\)。
👨🏫 名师点拨与拓展
方法总结
“替代法”测电阻：当电压表损坏时，可用“已知内阻电流表 + 定值电阻”串联，整体作为电压表使用。本题中 \(A_1\) 和 \(R\) 就充当了电压表角色。
易错提醒
公式推导时容易方向搞反。一定要根据图像的纵轴(\(I_2\))和横轴(\(I_1\))来整理公式，即写成 \(I_2 = k \cdot I_1\) 的形式，才能正确对应斜率 \(k\)。
变式思考
如果只有电压表没有电流表怎么办？可以使用“双电压表法”，将一个电压表串联定值电阻测电流，另一个测电压。