10-波的干涉与几何位置分析
如图(a)所示，水平面上 A、B、C、D 四点构成一矩形，两波源分别位于 A、C 两点；两波源振动规律如图(b)所示。
已知 A、C 两波源产生的两列简谐波传到 B 点的时间差是 \(1\text{s}\)，\(AB=3\text{m}\)，\(BC=4\text{m}\)。
则两列波的波长均为 ______ \(\text{m}\)， A、C 两点所在的直线共有 ______ 个振动加强的点。
🎯 解题思路
- 求波长 \(\lambda\)：先从 \(y-t\) 图像读出周期 \(T\)，利用题目给的“时间差”和 B 点的“距离差”算出波速 \(v\)，最后用公式 \(\lambda = vT\) 求波长。
- 求加强点个数：计算 A、C 连线的长度，确定 A、C 连线上任意一点到两波源的路程差范围，根据加强条件 \(\Delta x = k\lambda\) 数出有多少个整数 \(k\) 符合范围。
知识卡片
🔹 波速公式
\(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) （波匀速传播）
🔹 波长公式
\(\lambda = v T\)
🔹 几何关系
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\)
🔹 干涉加强条件
路程差 \(\Delta r = k \lambda \quad (k = 0, \pm 1, \dots)\)
1 Step 1: 求解波长 \(\lambda\)
图像读数：观察图(b)的 \(y-t\) 图像，一个完整的正弦波形对应的时间即为周期。 \[ T = 2\text{s} \]
计算波速：波源分别在 A 和 C。它们传到 B 点的距离分别为 \(x_A = 3\text{m}\)，\(x_C = 4\text{m}\)。 两列波传到 B 点的路程差： \(\Delta x = x_C - x_A = 1\text{m}\)。
题目已知传到 B 点的时间差 \(\Delta t = 1\text{s}\)。根据匀速运动公式： \[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{1\text{m}}{1\text{s}} = 1\text{m/s} \]
计算波长： \[ \lambda = v \cdot T = 1 \times 2 = 2\text{m} \] ✅ 第一空结果：2
2 Step 2: 求解 A、C 连线上的振动加强点个数
几何计算：在矩形 ABCD 中，AC 为对角线。根据勾股定理： \(L_{AC} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{m}\)
物理原理：题目隐含同相波源。振动加强条件是某点到两波源的路程差 \(\Delta r\) 为波长 \(\lambda=2\text{m}\) 的整数倍。 \[ \Delta r = r_A - r_C = k \lambda = 2k \]
范围分析： 在 A 点时，\(\Delta r_A = 0 - 5 = -5\text{m}\)。 在 C 点时，\(\Delta r_C = 5 - 0 = 5\text{m}\)。 AC 连线上任意一点的路程差范围是： \(-5\text{m} \le \Delta r \le 5\text{m}\)
计数：
寻找满足 \(-5 \le 2k \le 5\) 的整数 \(k\)。即 \(-2.5 \le k \le 2.5\)。
整数 \(k\) 可取：\(-2, -1, 0, 1, 2\)，共有 5 个数值。
✅ 第二空结果：5
💡 名师点拨与拓展
📌 方法总结：干涉“数格子”法
核心在于确定路程差范围 \([-L, L]\)。你只需要看这个范围内能“塞进”多少个波长。本题范围 \([-5, 5]\)，波长为 2，故 \(0, \pm 2, \pm 4\) 都在范围内。
⚠️ 易错提醒
- 混淆波速公式：没有给定 \(\lambda\) 时，必须用定义式 \(v = \Delta x / \Delta t\)。
- 漏掉负数解：数 \(k\) 时别忘了对称性，\(-1, -2\) 也是解。
🔄 变式思考：如果问“振动减弱点”？
减弱点条件是路程差为半波长的奇数倍：\(\Delta r = (k + 0.5)\lambda\)。
本题半波长为 1，则路程差可为 \(1, 3, 5, -1, -3, -5\)。一共 6 个点。