第8题 传送带上的双体追及与摩擦生热
8. 如图所示，倾角 \(\theta=37^{\circ}\) 的传送带以 \(v_{0}=1~m/s\) 的速度沿顺时针方向匀速转动，将质量为1kg的物块B轻放在传送带下端，同时质量也为1kg的物块A从传送带上端以 \(v_{1}=2~m/s\) 的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8...（选项略）
参考答案：
解题思路
- 判方向：传送带“顺时针”转动，意味着上表面\( \text{向上运动} \)（最隐蔽陷阱！）。
- 析受力：比较重力分量 \( mg\sin\theta \) 和最大静摩擦力，确定运动状态。
- 找临界：“恰好不相碰”意味着两物体同向运动，且\( v_A = v_B \) 时，距离 \( \Delta x = 0 \)。
知识卡片
正式解题步骤
受力分析与加速度计算 (判定选项 A)
预备计算：
由于 \( f > G_x \)，摩擦力足以让物体逆着重力向上加速。
物体 A (初速向下，带向上)： 受摩擦力沿斜面\( \text{向上} \)。合力 \( F_{\text{合}A} = 0.4\text{N} \) (向上)，加速度 \( a_A = 0.4 \text{m/s}^2 \) (减速)。
物体 B (初速0，带向上)： 受摩擦力沿斜面\( \text{向上} \)。加速度 \( a_B = 0.4 \text{m/s}^2 \) (加速)。
运动过程分析与时间 (判定选项 B)
临界分析：“恰好不相碰”发生在 A 反向加速向上追 B，且两者速度相等（相对静止）的瞬间。此时 \( v_A = v_B = v_{\text{带}} = 1\text{m/s} \)。
物体 A 的“三部曲”
- 向下减速：\( 2 \to 0 \)，耗时 \( 5\text{s} \)
- 反向加速：\( 0 \to 1 \) (上)，耗时 \( 2.5\text{s} \)
- 向上匀速：之后与传送带共速。
总相遇时间
而非 5s
摩擦生热计算 (判定选项 D)
| 阶段 | 相对路程 \( \Delta x \) | 热量 \( Q \) |
|---|---|---|
| B 加速段 | \( 1.25\text{m} \) | \( 8\text{J} \) |
| A 向下冲 (反向) | \( 5+5=10\text{m} \) | \( 64\text{J} \) |
| A 向上追 (同向) | \( 2.5-1.25=1.25\text{m} \) | \( 8\text{J} \) |
| 总热量 | \( 80\text{J} \) | |
传送带长度计算 (验证选项 C)
公式：\( L = x_{A\text{离顶}} + x_{B\text{离底}} \) (取 \( t=7.5\text{s} \))。
计算结果：\( L = 3.75 + 6.25 = 10\text{m} \)。因此选项 C 错误。
名师点拨与拓展
易错警示
很多同学在算 \( Q_{A1} \) 时，直接用 A 的位移 \( x_A \) 计算，漏掉了传送带走的距离。请务必记住：相对位移才是产生热量的根源！反向运动时，相对位移是两者位移之和。
变式思考
如果 \( \mu < \tan 37^{\circ} = 0.75 \)（例如 \( \mu=0.5 \)），结果会怎样？
定性分析：摩擦力不足以支撑重力分量，B 将无法向上运动直接滑落；A 将无法减速停止，而是一直加速滑出传送带。