双项选择题 第7题：平抛运动落回斜面的多体对比模型
核心考点
7. 如图所示，倾角为 \(\theta\) 的斜面上有 A、B、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的 D 点。
已知 \(AB:BC:CD = 5:3:1\)，不计空气阻力，由此可判断 ( )
📌 深度解析
💡 解题思路导航
- 几何转化： 题目给的是分段比 \(5:3:1\)，需要转化为 A、B、C 分别到 D 的总位移之比。
- 时间分析： 利用斜面位移公式，得出运动时间与 \(t \propto \sqrt{s}\) 成正比。
- 速度分析： 利用水平位移 \(x=v_0 t\)，结合时间算出初速度之比。
- 角度推论： 利用平抛重要推论，判断落回同一斜面时的速度偏角 \(\tan\alpha\) 是否相同。
📚 知识卡片
平抛落斜面模型：
位移偏向角等于斜面倾角 \(\theta\)。
重要推论：
速度偏角 \(\alpha\) 满足：
📝 步骤详解
Step 1: 几何比例转换
设 \(CD = L\)。根据题意 \(AB:BC:CD = 5:3:1\)。
C 球位移（沿斜面）：\(s_C = 1L\)
B 球位移（沿斜面）：\(s_B = 3L + 1L = 4L\)
A 球位移（沿斜面）：\(s_A = 5L + 3L + 1L = 9L\)
因此总位移之比：
\[ s_A : s_B : s_C = 9 : 4 : 1 \]Step 2: 求解运动时间 (判定选项 A)
A 错误由 \(h = \frac{1}{2}gt^2\) 及 \(h = s \sin\theta\) 可得：
代入位移比例计算：
\[ t_A : t_B : t_C = \sqrt{9} : \sqrt{4} : \sqrt{1} = 3 : 2 : 1 \]Step 3: 求解初速度 (判定选项 C)
C 正确水平方向 \(x = v_0 t\)，即 \(v_0 = \frac{s \cos\theta}{t}\)。
因为 \(t \propto \sqrt{s}\)，所以：
\[ v_0 \propto \frac{s}{\sqrt{s}} = \sqrt{s} \]初速度之比：
\[ v_{0A} : v_{0B} : v_{0C} = 3 : 2 : 1 \]Step 4: 分析速度偏角与轨迹 (判定选项 B, D)
关于 B： 三球落在同一斜面上，\(\theta\) 相同，则速度偏角 \(\tan\alpha = 2 \tan\theta\) 必相同，即速度平行。
关于 D： 三条抛物线轨迹相似且由大套小，除了终点 D 外，在空中无交点。
最终答案：BC
👨🏫 名师点拨与拓展
方法总结
1. 化繁为简： 处理 A:B:C 题目，直接用 9, 4, 1 这种“份数”代入公式计算。
2. 结论秒杀： 只要落回斜面，初速度越大飞得越远，且落地速度方向统统平行。
易错提醒
比例误区： 最容易拿 5:3:1 直接开根号。
务必画图明确：
\(s_A = 5+3+1 = 9\)（最长）
\(s_B = 3+1 = 4\)
变式思考
❓ 如果题目改为：从同一竖直线不同高度抛出，落在地面上的同一点（水平位移相同）？
此时 \(h_A > h_B > h_C\)，则时间 \(t_A > t_B > t_C\)。
根据 \(x = v_0 t\) (且 \(x\) 相同)，结论将完全相反：
\(v_A < v_B < v_C\)（越高抛得越慢）。
做题时务必看清是“落回斜面”还是“落地面同一点”。