5. 嫦娥奔月：卫星变轨与开普勒定律的应用

难度：⭐⭐⭐ 宇宙速度卫星变轨开普勒第三定律

来源：福宁古五校教学联合体 2025-2026学年第一学期高三期中质量监测

题目原题

中国预计在2028年实现载人登月计划...图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是 ( )

🌑 🚀 🌍

[示意图区域]
左：地球轨道 (16h, 24h)
右：月球轨道 (I, II, III)

💡 详细讲解

参考答案： CD

第三宇宙速度数值为 \(16.7 \text{ km/s}\)，是物体摆脱太阳引力束缚的最小发射速度。

开普勒第三定律公式：\(\frac{a^3}{T^2} = k\)。
注意：\(k\) 值只与中心天体的质量有关。

变轨“进出法则” 低 \(\to\) 高（离心）：点火加速。
高 \(\to\) 低（近心）：点火减速（刹车）。

分析：“嫦娥一号”最终被月球捕获，仍在地月系内，并没有飞出太阳系。

结论：发射速度应大于 7.9 km/s 但小于 11.2 km/s，不需要达到第三宇宙速度。 A 错误。

观察： 轨道 I（外层）\(\to\) 轨道 II（内层），这是近心运动。

原理： 万有引力必须大于所需向心力，即 \(G\frac{Mm}{r^2} > m\frac{v^2}{r}\)。

操作： 必须减速（点火刹车）。 B 错误。

分析： Q 点是切点。卫星在轨道 I 上经过 Q 点时，若不减速会继续沿大椭圆运动。要进入更小的轨道 II，必须在 Q 点“刹车”。

结论： \(v_{Q(轨道I)} > v_{Q(轨道II)}\)。 C 正确。

分析： 16h 轨道和 24h 轨道都是绕地球公转的。中心天体相同，比值 \(k\) 相同。 D 正确。

不要混淆：在同一点 Q 变轨时，\(v_{高轨} > v_{低轨}\)（减速才能进去）。
而在不同半径的圆轨道稳定运行时，\(v = \sqrt{GM/r}\)，半径越小，速度越快。

问：比较“16h轨道”和“月球轨道 I”的 \(\frac{a^3}{T^2}\)，它们相等吗？
答：不相等。因为中心天体不同（一个绕地球，一个绕月球）。地球质量大，\(k\) 值更大。