圆周运动的临界模型与机械能守恒
如图所示，四分之三圆轨道 ABD (内壁、外壁均光滑) 被固定在竖直面内，O为圆心，C是轨道上一点，其中轨道 AB 部分是圆管且 AB 是竖直直径，OC、OB的夹角为 \(\theta\) (\(\theta\) 为未知量)。
一质量为 \(m\) 的小球(可视为质点)沿光滑水平面，以向左的速度 \(v_{0}\) 经A点进入圆轨道，恰好到达最高点B，接着在B点受到轻微的扰动，从B点到达C点时刚好脱离轨道，最后落到水平面，重力加速度为 \(g\)，不计空气阻力以及圆管粗细。
下列说法正确的是：
- A. 圆弧轨道的半径为 \(\frac{v_{0}^{2}}{2g}\)
- B. \(\theta\) 的余弦值为 \(\frac{1}{3}\)
- C. 小球到达C点时的动能为 \(\frac{mv_{0}^{2}}{6}\)
- D. 小球从C点到达水平面时重力瞬时功率为 \(\frac{5\sqrt{3}}{9}mgv_{0}\)
知识卡片
Step 1: 分析 A → B (上坡)，求解半径 R
临界判断： 题目提到“圆管”且“恰好到达最高点 B”，意味着在 B 点速度减为 0 (管壁支撑)。
能量方程： 选取 A 点所在平面为零势能面，根据机械能守恒：
解得半径 \(R\)：
排除选项 A
Step 2: 分析 B → C (下坡)，求解角度 \(\theta\)
受力分析： 在 C 点“刚好脱离”，说明支持力 \(N=0\)。重力沿半径方向的分力提供向心力。
能量方程： B到C，初速度为0，下落高度 \(h = R(1-\cos\theta)\)。
联立(1)(2)解得：
排除选项 B
Step 3: 分析 C 点的动能
由(1)式可知 \(v_C^2 = gR\cos\theta = \frac{2}{3}gR\)。代入动能公式：
代入 \(R = \frac{v_0^2}{4g}\)：
排除选项 C
Step 4: 求解落地时的重力功率
关键点： 功率 \(P = mg v_y\)，需计算落地时的竖直分速度。
1. C点竖直初速度：\(\sin\theta = \sqrt{1-(2/3)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
2. 落地竖直分速度 (位移-速度公式)：\(H_C = \frac{5}{3}R\)
3. 最终功率计算：
名师点拨
易错提醒
- 模型混淆： 务必区分“绳模型”（临界 \(\sqrt{gR}\)）与本题的“管模型”（临界0）。
- 功率计算： 不要直接用 \(P=mgv\)，重力功率只与竖直分速度有关。
解题锦囊
- 定模型： 看到“圆管”、“轻杆”想到支撑力，最高点速度可为0。
- 找临界： “恰好脱离”即弹力 \(N=0\)。
- 能量桥： 机械能守恒是连接不同位置状态的桥梁。