2. 恒力作用下的速度极值与矢量分解
原题呈现
2. 一质量为 \( m \) 的物块在光滑水平面上以速度 \( v_{0} \) 做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力 \( F \) 作用，其速度大小先减小后增大，最小值为 \( \frac{v_{0}}{2} \)。下列图中初速度 \( v_{0} \) 与恒力 \( F \) 夹角正确的是 ( )
解题思路
- 类比模型： 想象一下斜上抛运动。物体先向上减速，到最高点速度最小，然后向下加速。在最高点时，速度方向水平，重力方向竖直，二者\( \perp \)（垂直）。
- 核心逻辑： 速度达到最小值的瞬间，速度方向必然与力 \( F \) 的方向垂直。此时的速度分量就是初速度在垂直于力方向上的投影。
知识卡片
最小速度原理
在恒力作用下的曲线运动，当速度方向 \( \perp \) 合力方向时，速度达到全过程的最小值。
正交分解法
- 垂直于力 \( F \) 的分量 \( v_{\perp} \)：做\( \text{匀速直线} \)运动。
- 沿力 \( F \) 方向的分量 \( v_{\parallel} \)：做匀变速运动。
正式解题步骤
Step 1: 建立物理模型与分解初速度
设初速度 \( v_0 \) 与恒力 \( F \) 的夹角为 \( \theta \)。
将 \( v_0 \) 分解：
- 垂直于 \( F \) 的分量： \( v_{\perp} = v_0 \sin\theta \)
- 沿 \( F \) 方向的分量： \( v_{\parallel} = v_0 \cos\theta \)
Step 2: 确定最小速度的物理意义
当沿力方向的分量减为 \( 0 \) 时，总速度最小。
即：\[ v_{min} = v_{\perp} \]
结合题意已知最小值为 \( \frac{v_0}{2} \)，可得方程：
\[ v_{\perp} = \frac{v_0}{2} \]Step 3: 计算夹角 \( \theta \)
联立 Step 1 和 Step 2：
\[ v_0 \sin\theta = \frac{v_0}{2} \Rightarrow \sin\theta = \frac{1}{2} \]在 \( 0^{\circ} \sim 180^{\circ} \) 范围内，对应的角度有两个：
\[ \theta_1 = 30^{\circ}, \quad \theta_2 = 150^{\circ} \]Step 4: 判定最终答案 (关键!)
逻辑判断：
题目提到“速度大小先减小后增大”。
- 如果夹角是 \( 30^{\circ} \)（锐角），力 \( F \) 做正功，速度会直接增大。
- 只有当夹角是 \( \text{钝角} \) 时，力才会起阻碍作用，使物体先减速。
名师点拨
💡 为什么用正交分解？
本题如果用余弦定理或者能量守恒来做会非常麻烦。使用正交分解抓住“垂直方向不受力，速度分量守恒”这一核心特征，能直接建立几何关系。
⚠️ 易错提醒
很多同学算出 \( \sin\theta = 0.5 \) 后直接选 \( 30^{\circ} \)。一定要回头看题眼“先减小”，这意味着力要做负功，夹角必须大于 \( 90^{\circ} \)。
🔄 变式思考
如果题目改为“速度最小值为 \( \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \)”，夹角是多少？
(点击查看答案)
\( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = 120^{\circ} \) (取钝角)